Какво Е Тригонометрията?

{h1}

Тригонометрията е клон на математиката, който изучава връзките между страните и ъглите на триъгълниците.

Тригонометрията е клон на математиката, който изучава връзките между страните и ъглите на триъгълниците. Тригонометрията е открита в цялата геометрия, тъй като всяка праволинейна форма може да бъде разбита като съвкупност от триъгълници. Освен това тригонометрията има поразително сложни връзки с други клонове на математиката, по-специално сложни числа, безкрайни серии, логаритми и смятане.

Думата тригонометрия е производно от латиница от 16 век от гръцките думи за триъгълник (trigōnon) и мярка (Метрон). Въпреки че полето се е появило в Гърция през третия век пр.н.е., някои от най-важните приноси (като синусоидалната функция) идват от Индия през пети век от н.е., тъй като ранните тригонометрични произведения на Древна Гърция са загубени, не се знае дали индийският учените са разработили тригонометрията независимо или след гръцко влияние. Според Виктор Кац в „История на математиката (3-то издание)“ (Pearson, 2008), тригонометрията се развива предимно от нуждите на гръцки и индийски астрономи.

Пример: Височина на мачтата на ветроходка

Да предположим, че трябва да знаете височината на мачтата на ветроходката, но не сте в състояние да я изкачите, за да измерите. Ако мачтата е перпендикулярна на палубата, а горната част на мачтата е прикрепена към палубата, тогава мачтата, палубата и въжето за такелаж образуват десен триъгълник. Ако знаем доколко въжето е оградено от мачтата и наклонът, на който въжето отговаря на палубата, тогава всичко, което трябва да определим височината на мачтата, е тригонометрията.

За тази демонстрация трябва да разгледаме няколко начина за описание на „наклон“. Първо е наклон, което е съотношение, което сравнява колко единици се увеличава вертикално (неговата покачване) в сравнение с колко единици се увеличава хоризонтално (неговата тичам). Следователно наклонът се изчислява като възход, разделен на бягане. Да предположим, че измерваме точката на такелаж като на 30 фута (9,1 метра) от основата на мачтата (бягането). Умножавайки хода по наклона, бихме получили издигането - височината на мачтата. За съжаление не знаем наклона. Можем да намерим обаче това ъгъл на въжето за такелаж и го използвайте, за да намерите наклона. Ъгъл е част от пълен кръг, който се определя като 360 градуса. Това лесно се измерва с транспортир. Да предположим, че ъгълът между въжето и такелажа е 71/360 на кръг или 71 градуса.

Искаме наклона, но всичко, което имаме, е ъгълът. Нуждаем се от връзка, която свързва двете. Тази връзка е известна като „допирателна функция, „написана като tan (x). Допирателната ъгъл дава своя наклон. За нашата демонстрация уравнението е: tan (71°) = 2,90 (Ще обясним как получихме този отговор по-късно.)

Това означава, че наклонът на нашето такелажно въже е 2,90. Тъй като точката на такелаж е на 30 фута от основата на мачтата, мачтата трябва да е 2,90 × 30 фута или 87 фута височина. (Работи същото в метричната система: 2,90 х 9,1 метра = 26,4 метра.)

Синус, косинус и допирателна

В зависимост от това, което се знае за различни странични дължини и ъгли на десен триъгълник, има две други тригонометрични функции, които могат да бъдат по-полезни: „синус функция "написана като sin (x), и"косинус функция ", написана като cos (x). Преди да обясним тези функции, е необходима допълнителна терминология. Страниците и ъглите, които се докосват, се описват като съседен, Всяка страна има два съседни ъгъла. Страните и ъглите, които не се допират, са описани като противоположен, За десен триъгълник страната, противоположна на десния ъгъл, се нарича хипотенуза (от гръцки за "разтягане под"). Двете останали страни се наричат крака.

Обикновено се интересуваме (както в примера по-горе) под ъгъл, различен от правилния ъгъл. Това, което нарекохме "издигане" в горния пример, се приема като дължина на противоположния крак до интересуващия ъгъл; също така, "бягането" се приема като дължина на съседния крак. Когато се прилагат за измерване на ъгъл, трите тригонометрични функции произвеждат различните комбинации от съотношения на странични дължини.

С други думи:

  • Тангентата на ъгъл A = дължината на противоположната страна, разделена на дължината на съседната страна
  • Синусът на ъгъл A = дължината на противоположната страна, разделена на дължината на хипотенузата
  • Косинусът на ъгъл A = дължината на съседната страна, разделена на дължината на хипотенузата

От нашия пример за кораб-мачта преди, връзката между ъгъл и допирателната му точка може да бъде определена от графика, показана по-долу. Графиките на синуса и косинуса също са включени.

Трите принципни тригонометрични функции.

Трите принципни тригонометрични функции.

Кредит: Робърт Дж. Coolman

Заслужава да се спомене, макар и извън обхвата на тази статия, е, че тези функции са свързани помежду си чрез голямо разнообразие от сложни уравнения, известни като идентичности, уравнения, които винаги са верни.

Всяка тригонометрична функция има и обратна, която може да се използва за намиране на ъгъл от съотношение на страните. Инверсите на sin (x), cos (x) и tan (x) са съответно arcsin (x), arccos (x) и arctan (x).

Обръщанията на трите принципни тригонометрични функции.

Обръщанията на трите принципни тригонометрични функции.

Кредит: Робърт Дж. Coolman

Форми, различни от десните триъгълници

Тригонометрията не се ограничава само до правилни триъгълници. Може да се използва с всички триъгълници и всички форми с прави страни, които се третират като съвкупност от триъгълници. За всеки триъгълник през шестте мерки на страни и ъгли, ако са известни най-малко три, останалите три обикновено могат да бъдат определени. От шестте конфигурации на три известни страни и ъгли, само две от тези конфигурации не могат да се използват за определяне на всичко за триъгълник: три известни ъгъла (AAA) и известен ъгъл, съседен и противоположен на известните страни (ASS). Неизвестните странични дължини и ъгли се определят с помощта на следните инструменти:

  • Законът на синусите, който казва, че ако са известни и двете мерки на една от трите противоположни двойки ъгъл / страна, останалите могат да бъдат определени само от един известен: sin (A) / a = sin (B) / b = sin ( C) / в
  • Законът на козините, който казва, че неизвестна страна може да бъде открита от две известни страни и ъгъла между тях. Това е по същество Питагоровата теорема с корекционен коефициент за ъгли, които не са 90 градуса: c2 = a2 + b2 - 2ab ∙ cos (C)
  • Фактът, че всички ъгли в триъгълник трябва да добавят до 180 градуса: A + B + C = 180°

Историята на тригонометрията

Тригонометрията следва подобен път като алгебрата: тя е разработена в древния Близкия изток и чрез търговията и имиграцията се премества в Гърция, Индия, средновековна Арабия и накрая Европа (където впоследствие колониализмът я превръща във версията, на която днес се учат повечето хора). Графикът на тригонометричните открития се усложнява от факта, че Индия и Арабия продължиха да се отличават в проучването в продължение на векове след преминаването на знанието през културните граници. Например, откриването на Мадхава от 1400 г. на безкрайната серия от синуси беше непознато за Европа нагоре чрез независимото откритие на Исак Нютон през 1670 г. Поради тези усложнения ще се съсредоточим изключително върху откриването и преминаването на синус, косинус и допирателна.

Започвайки в Близкия Изток, VII в. Пр.н.е. учени от Нео-Вавилония определиха техника за изчисляване на времената на издигане на неподвижни звезди на зодиака. Отнема приблизително 10 дни, за да изгрее различна неподвижна звезда точно преди разсъмване, а във всеки от 12-те зодиакални знака има три неподвижни звезди; 10 × 12 × 3 = 360. Числото 360 е достатъчно близо до 365,24 дни в годината, но далеч по-удобно за работа. Почти идентични разделения са открити в текстовете на други древни цивилизации, като Египет и долината на Инд. Според Ута Мерцбах в „История на математиката“ (Wiley, 2011), адаптирането на тази вавилонска техника от гръцкия учен Хипсик от Александрия около 150 г. пр.н.е. вероятно вдъхновението на Хипарх от Никея (от 190 до 120 г. пр. Хр.) да започне тенденцията за разрязване на кръга на 360 градуса. Използвайки геометрията, Хипарх определи тригонометрични стойности (за функция, която вече не се използва) за стъпки от 7,5 градуса (48тата на кръг). Птолемей Александрийски (А. Д. 90 - 168) в своя „Алмагест“ от А. Д. 148 подпомага работата на Хипарх, като определя тригонометрични стойности за стъпки от 0,5 градуса (720тата на кръг) от 0 до 180 градуса.

Най-старият запис на синусоидалната функция идва от Индия от пети век в работата на Ариабхата (476 до 550 г.). Стих 1.12 от „Арябхатия“ (499), вместо да представя ъгли в градуси, съдържа списък на последователни различия на синусите от двадесет и четвърти от прав ъгъл (на стъпки от 3,75 градуса). Това беше изходна точка за голяма част от тригонометрията за векове напред.

Следващата група велики учени, които наследяват тригонометрията, са от златния век на исляма. Ал-Ма'мун (813 до 833 г.), седмият халиф на абасидския халифат и създател на Дома на мъдростта в Багдад, спонсорира превода на „Алмагест“ на Птолемей и „Арябхатия“ на Арябхата на арабски. Скоро след това Ал-Хваризми (780 до 850) произвежда точни таблици за синус и косинус в „Zīj al-Sindhind“ (820). Именно чрез тази работа познанията за тригонометрията за първи път стигнаха до Европа. Според Джералд Томер в „Речника на научната биография 7“, докато оригиналната версия на арабски език е загубена, тя е била редактирана около 1000 г. от Ал-Мадрити от Ал-Андалус (съвременна Испания), който вероятно е добавил таблици на допирателни преди Аделард от Бат (в Южна Англия) го превежда на латински през 1126г.

Допълнителни ресурси

  • Математиката е забавна: Тригонометрия
  • Академия Хан: Тригонометрия
  • Wolfram MathWorld: Тригонометрия


Видео Добавка: Синус, косинус, тангенс, котангенс. Тригонометрия #1.




Изследване


Morphsuit Издърпва Каскад
Morphsuit Издърпва Каскад "Invidibility Suit" Априлски Глупаци

Въглеродният Нанофибър Прави Интелигентна Прежда
Въглеродният Нанофибър Прави Интелигентна Прежда

Наука Новини


Кажи Какво?! Китовете Викат От Замърсяване С Шум
Кажи Какво?! Китовете Викат От Замърсяване С Шум

Мощни Идеи: Военните Разработват Шпиони
Мощни Идеи: Военните Разработват Шпиони "Cybug"

Научно Доказателство Вашият Шеф Е Шут
Научно Доказателство Вашият Шеф Е Шут

Смяна На Секцията: Скорост На Спада На 38 Седмици, Възход На 39
Смяна На Секцията: Скорост На Спада На 38 Седмици, Възход На 39

Калифорнийското Емблематично Шофиране През Дърво, Отрупано От Зимна Буря
Калифорнийското Емблематично Шофиране През Дърво, Отрупано От Зимна Буря


BG.WordsSideKick.com
Всички Права Запазени!
Възпроизвеждането На Използваните Материали Оставя Само Prostanovkoy Активна Връзка Към Сайта BG.WordsSideKick.com

© 2005–2020 BG.WordsSideKick.com