Как Работят Фракталите

{h1}

Фракталите са съществували завинаги, но са дефинирани едва през последната четвърт на 20 век. Можете ли да увиете мозъка си около това как работят фракталите?

Фракталите са парадокс. Невероятно прост, но безкрайно сложен. Нов, но по-стар от мръсотия. Какво представляват фракталите? Откъде са дошли? Защо трябва да ми пука?

Нетрадиционният математик от 20 век Беноа Манделброт създаде термина фрактал от латинската дума fractus (което означава неправилна или фрагментирана) през 1975 г. Тези неправилни и фрагментирани форми са навсякъде около нас. Най-основните им фрактали са визуален израз на повтарящ се модел или формула, който започва просто и става постепенно по-сложен.

Едно от най-ранните приложения на фрактали се появи много преди терминът дори да бъде използван. Луис Фрай Ричардсън е английски математик в началото на 20 век, изучавайки дължината на английската брегова линия. Той разсъждава, че дължината на бреговата линия зависи от дължината на измервателния инструмент. Измервайте с критерий, получавате едно число, но измервайте с по-подробен владетел, дълъг крак, който отчита повече от нередността на бреговата линия и получавате по-голям брой и т.н.

Изпълнете това до своя логичен завършек и стигате до една безкрайно дълга брегова линия, съдържаща ограничено пространство, същия парадокс, предложен от Хелге фон Кох в снежинката на Кох. Този фрактал включва вземане на триъгълник и превръщане на централната третина на всеки сегмент в триъгълна шина по начин, който прави фрактала симетричен. Разбира се, всеки удар е по-дълъг от оригиналния сегмент, но все пак съдържа ограниченото пространство в него. Странно, но вместо да се сближава на определено число, периметърът се движи към безкрайността. Манделброт видя това и използва този пример за изследване на концепцията за фрактално измерение, като по този начин доказва, че измерването на бреговата ивица е упражнение за приближение [източник: NOVA].

Ако фракталите наистина са били наоколо през цялото това време, защо чуваме за тях само през последните 30 години или така?

Фрактална терминология

Фракталното изкуство може първоначално да изглежда случайно и разединено, но по-внимателното разглеждане разкрива повтаряща се структура.

Фракталното изкуство може първоначално да изглежда случайно и разединено, но по-внимателното разглеждане разкрива повтаряща се структура.

Преди да навлезем в повече подробности, трябва да обхванем някои основни терминологии, които ще ви помогнат да разберете уникалните качества, които притежават фракталите.

Всички фрактали показват степен на това, което се нарича полусходство, Това означава, че като погледнете отблизо и по-близо до детайлите на фрактала, можете да видите реплика на цялото. Папрат е класически пример. Вижте целия фронт. Виждате клоните, излизащи от главното стъбло? Всеки от тези клони изглежда подобно на целия фронт. Те са самоподобни на оригинала, само в по-малък мащаб.

Тези самоподобни модели са резултат от обикновено уравнение или математическо изявление. Фракталите се създават чрез повтаряне на това уравнение чрез контур за обратна връзка в процес, наречен повторение, където резултатите от една итерация формират входната стойност за следващата. Например, ако погледнете вътрешността на черупката на nautilus, ще видите, че всяка камера на черупката е основно копие от предходната камера, точно по-малка, докато ги проследявате от външността към вътрешността.

Фракталите също са повтарящ независимо от мащаба. Някога влизате ли в съблекалнята на магазина и се оказвате заобиколен от огледала? За по-добро или по-лошо гледате на безкрайно рекурсивен образ на себе си.

Накрая бележка за геометрия, Повечето от нас израснаха, научени, че дължината, ширината и височината са трите измерения и това е това. Фракталната геометрия хвърля тази концепция крива, като създава неправилни форми фрактално измерение; фракталното измерение на формата е начин за измерване на сложността на тази форма.

Сега вземете всичко това и ясно можем да видим, че a чист фрактал е геометрична форма, която е подобна на себе си чрез безкрайни повторения в рекурсивен модел и чрез безкраен детайл. Просто, нали? Не се притеснявайте, скоро ще разгледаме всички парчета.

Преди да са били фрактали

Кацушика Хокусай използва фракталната концепция за самоподобност в своята картина

Кацушика Хокусай използва фракталната концепция за самоподобност в своята картина „Голямата вълна извън Канагава“ в началото на 1800 година.

Когато повечето хора мислят за фрактали, те често се замислят за най-известния от всички тях, Манделбротът. Наречен на математика Беноа Манделброт, той на практика е синоним на понятието фрактали. Но далеч не е единственият фрактал в града.

По-рано споменахме папрата, който представлява един от опростените и ограничени фрактали на природата. Ограничените фрактали не продължават безкрайно; те показват само няколко повторения на конгруентни форми. Простите и ограничени фрактали също не са точни по своята прилика - листовките на папрат може да не имитират перфектно формата на по-големия фронд. Спиралата на раковина и кристалите на снежинка са два други класически примера на този тип фрактал, открити в природния свят. Макар и да не са математически точни, те все още имат фрактална природа.

Ранните африкански и навахайски художници забелязват красотата в тези рекурсивни модели и се стремят да им подражават в много аспекти от ежедневието им, включително изкуство и градоустройство [източник: Eglash, Bales]. Както в природата, броят на рекурсивните итерации на всеки модел е ограничен от мащаба на материала, с който са работили.

Леонардо да Винчи също видя този модел в клоните на дърветата, тъй като крайниците на дърветата растат и се разделят на повече клони [източник: Да Винчи]. През 1820 г. японският художник Кацушика Хокусай създава "The Great Wave Off Kanagawa", цветно изобразяване на голяма океанска вълна, където върхът се разпада на по-малки и по-малки (самоподобни) вълни [източник: NOVA].

Математиците в крайна сметка се включиха и в акта. Гастон Джулия измисли идеята да използва верига за обратна връзка за създаване на повтарящ се модел в началото на 20 век. Георг Кантор експериментира със свойства на рекурсивни и самоподобни набори през 1880-те, а през 1904 г. Хелге фон Кох публикува концепцията за безкрайна крива, използвайки приблизително същата техника, но с непрекъсната линия. И разбира се, вече споменахме Люис Ричардсън, който изследва идеята на Кох, докато се опитва да измерва английските брегови линии.

Тези проучвания в такава сложна математика обаче бяха предимно теоретични. Липсваше по онова време машина, способна да извърши грубата работа на толкова много математически изчисления в разумен период от време, за да разбере докъде са стигнали тези идеи. С развитието на силата на компютрите се разви и способността на математиците да тестват тези теории.

В следващия раздел ще разгледаме математиката зад фракталната геометрия.

Математика зад красавицата

Ние мислим за планини и други обекти в реалния свят като три измерения. В евклидовата геометрия присвояваме стойности на дължината, височината и ширината на обекта и изчисляваме атрибути като площ, обем и обиколка въз основа на тези стойности. Но повечето обекти не са еднородни; планините например имат назъбени ръбове. Фракталната геометрия ни позволява по-точно да определим и измерим сложността на дадена форма, като количествено определим колко груба е нейната повърхност. Назъбените ръбове на тази планина могат да бъдат изразени математически: Въведете фракталното измерение, което по дефиниция е по-голямо или равно на евклидовото (или топологичното) измерение на обекта (D => D)т).

Сравнително прост начин за измерване на това се нарича методът за броене на кутия (или измерение на Minkowski-Bouligand Dimension). За да го опитате, поставете фрактал върху лист хартиена решетка. Колкото по-голям е фракталът и по-подробно е решетката, толкова по-точно ще бъде изчислението на размерите.

D = лог N / log (1 / час)

В тази формула, д е измерението, н е броят на решетъчните кутии, които съдържат част от фрактала вътре, и з е броят на решетъчните блокове, които фракталите обхващат върху графичната хартия [източник: Fractals Unleashed]. Въпреки че този метод е прост и достъпен, той не винаги е най-точен.

Един от по-стандартните методи за измерване на фрактали е използването на Hausdorff Dimension, което е D = log N / log s, където н е броят на частите, които фракталът произвежда от всеки сегмент, и с е размерът на всяка нова част в сравнение с оригиналния сегмент. Изглежда просто, но в зависимост от фрактала, това може да се усложни доста бързо.

Можете да произведете безкрайно разнообразие от фрактали само като промените няколко от първоначалните условия на уравнение; тук идва теорията на хаоса. На повърхността теорията на хаоса звучи като нещо напълно непредсказуемо, но фракталната геометрия е свързана с намирането на реда в това, което първоначално изглежда хаотично. Започнете да броите множеството начини, по които можете да промените тези първоначални условия на уравнение и бързо ще разберете защо има безкраен брой фрактали.

Въпреки това няма да почиствате пода с гъбата Menger, така че какви са добре фракталите?

Известни фрактали и техните видове

Някои фрактали започват с основен линеен сегмент или структура и добавят към него. Драконовата крива е направена по този начин. Други са редукционни, като започват като твърда форма и многократно се изваждат от нея. Триъгълникът на Сирпински и Менгера са в тази група. По-хаотичните фрактали образуват трета група, създадена с помощта на сравнително прости формули и ги графики милиони пъти на декартова решетка или сложна равнина. The Mandelbrot Set е рок звездата в тази група, но Strange Attractors също са доста готини. Тези изображения са всички изрази на математически формули. Ако графирате числата от фрактално уравнение на сложна числова равнина, вие също можете да направите фрактално изкуство.

Практически фрактали

След като през 1975 г. Манделбърт публикува семинарната си работа по фрактали, едно от първите практически приложения се появява през 1978 г., когато Лорен Карпентър иска да направи някои компютърно генерирани планини. Използвайки фрактали, които започват с триъгълници, той създава удивително реалистична планинска верига [източник: NOVA].

През 90-те години Нейтън Коен се вдъхновява от Коч Снежинката за създаване на по-компактна радио антена, използваща нищо повече от тел и чифт клещи. Днес антените в мобилните телефони използват такива фрактали като гъбата Menger, фракталите на кутията и фракталите, запълващи пространството, като начин за увеличаване на възприемчивата сила в минимално количество пространство [източник: Коен].

Макар че нямаме време да разгледаме всички приложения на фракталите за нас днес, няколко други примера включват биология, медицина, моделиране на вододайни зони, геофизика и метеология с образуване на облаци и въздушни потоци [източник: NOVA].

Тази статия има за цел да започнете в изумителния свят на фракталната геометрия. Ако имате математически извивки, може да искате да изследвате този свят много повече, като използвате източниците, изброени на следващата страница. По-малко математически наклонени читатели може да искат да изследват безкрайния потенциал на изкуството и красотата на този невероятен и сложен източник на вдъхновение.

Как да направите своя собствена фрактал

Вземете празен лист хартия и изчертайте права линия от центъра до дъното. Сега начертайте две линии, наполовина по-дълги от първата, излизайки под ъгъл 45 градуса нагоре от горната част на първия ред, образувайки Y. Направете това отново за всяка вилица в Y. Това е първата итерация във вашия фрактал. Продължавайте с всяка вилица. Чрез третата или четвъртата итерация ще започнете да осъзнавате защо фракталната геометрия не е разработена преди възрастта на компютъра. Поздравления - току-що направихте фрактален балдахин! Смесете го, като промените леко (или много) началните линии и вижте какво ще се случи.


Видео Добавка: ПОБЕДА НАД СОБОЙ.




Изследване


Революция В Полетната Линия На Полета
Революция В Полетната Линия На Полета

Лудост На Робота: Създаване На Истински Изкуствен Интелект
Лудост На Робота: Създаване На Истински Изкуствен Интелект

Наука Новини


По-Голямо Е По-Добре, Докато Не Изчезнеш
По-Голямо Е По-Добре, Докато Не Изчезнеш

Мистериозно Море Се Откри През Антарктическата Зима. Сега Учените Знаят Защо.
Мистериозно Море Се Откри През Антарктическата Зима. Сега Учените Знаят Защо.

Известни Дървоприкачващи Се Лъвове, Които Са На Ниска Плячка
Известни Дървоприкачващи Се Лъвове, Които Са На Ниска Плячка

Мадагаскарският Динозавър Запълва 95-Милионна Фосилна Пропаст
Мадагаскарският Динозавър Запълва 95-Милионна Фосилна Пропаст

Някои Добавки За Мозък И Тренировка Съдържат Неодобрени Лекарства
Някои Добавки За Мозък И Тренировка Съдържат Неодобрени Лекарства


BG.WordsSideKick.com
Всички Права Запазени!
Възпроизвеждането На Използваните Материали Оставя Само Prostanovkoy Активна Връзка Към Сайта BG.WordsSideKick.com

© 2005–2020 BG.WordsSideKick.com