Какво Представляват Квадратните Уравнения?

{h1}

Квадратните уравнения са основни за алгебрата и са математиката зад параболите, снарядите, сателитните антени и златното съотношение.

В математиката квадратиката е тип проблем, който се занимава с променлива, умножена по себе си - операция, известна като подреждане. Този език произлиза от площта на квадрат, като неговата странична дължина се умножава по самия него. Думата "квадратичен" идва от quadratum, латинската дума за квадрат.

Квадратните уравнения характеризират голям брой явления в реалния свят, например къде ще кацне ракетен кораб, колко да се зарежда за продукт или колко време ще отнеме човек, за да нареди нагоре и надолу по реката. Поради голямото им разнообразие от приложения, квадратиката има дълбоко историческо значение и е основополагаща за историята на алгебрата.

Потоците вода от чешма образуват параболи.

Потоците вода от чешма образуват параболи.

Кредит: Matej Kastelic Shutterstock

Параболата

Математиката на квадратиката е присъщо свързана с U-образна крива, известна като парабола. Може би най-познатият пример е поток от вода, който се изстрелва от питейна чешма. Има много други примери, като напречното сечение на сателитна антена или кабелите на окачващия мост.

Параболата е била значителна форма за много математици от древна Гърция, като Евклид Александрийски (~ 300 г. пр. Н. Е.), Архимед от Сиракуза (287-212 г. пр. Н. Е.), Аполоний от Перга (262-190 г. пр. Н. Е.) И Пап от Александрия (290 г. н.е.) -350). Тези учени отбелязаха редица математически свойства, присъщи на параболите:

1. Парабола е съвкупността от точки, еднакво отдалечени от точка (a фокус) и линия (a директриса). Подходящо нареченият фокус е важен в редица съвременни инженерни приложения, тъй като това е точката на параболична антена, където се отразяват входящите вълни, било то радиовълни (като в сателитна антена), светлина (като в концентриран слънчев масив) или звук (както в параболичен микрофон).

Всяка точка на парабола е на еднакво разстояние от определена точка и права. Всички входящи вълни се отразяват на фокуса.

Всяка точка на парабола е на еднакво разстояние от определена точка и права. Всички входящи вълни се отразяват на фокуса.

Кредит: Робърт Coolman

2. Парабола също се генерира чрез изрязване на конус, успореден на наклона на страните на конуса. Поради това параболите са в набор от математически криви, наречени конични секции, Близо 2000 години след това откритие, в своите изследвания върху параболичните „горящи огледала“, Леонардо да Винчи (А. Д. 1452-1519) разбра това свойство и разработи компас, който може да рисува параболи.

Самолет, пресичащ конус, прави парабола.

Самолет, пресичащ конус, прави парабола.

Кредит: Робърт Coolman

3. Промените във височината на парабола са пропорционални на промените в квадрата на ширината на тази парабола. Например, ако параболата е една единица висока, когато е широка една единица, тя ще бъде с девет (три квадрата) единици, където е с три единици. Именно от този имот Аполоний извежда думата „парабола“ от parabole, гръцката дума за „приложение“, в смисъл, че ширината се „прилага“ (умножена по). Това е свойството, което свързва формата на парабола с математическата концепция на квадратиката.

Въпреки че параболите са повсеместни, важно е да се отбележи, че те са различни от другите U-образни извивки, като висяща верига (котеница), пътят на дете на люлка (кръгова дъга), дъгата от изправено фенерче, греещо на стена (хипербола) или гребена на страничния изглед на пружина (синусоида). Тези други криви нямат споменатите по-горе свойства на параболи.

За парабола, една единица висока, когато е една единица широка, тя ще бъде девет (три квадратни) единици, висока, когато е три единици ширина. Тази парабола е завъртена надясно, така че да се побере на страницата.

За парабола, една единица висока, когато е една единица широка, тя ще бъде девет (три квадратни) единици, висока, когато е три единици ширина. Тази парабола е завъртена надясно, така че да се побере на страницата.

Кредит: Робърт Coolman

Движение на снаряда

Връзката между параболите и математиката на квадратиката е била от голямо значение през 16-ти век след Христа, когато учени от европейското Възраждане забелязват, че снаряди като пушки и минохвъргачки пътуват по параболични траектории. Много забележителни учени от онази епоха, включително Леонардо да Винчи и Галилео Галилей (1564-1642), изучаваха движението на снаряда. Според Джоузеф У. Даубен, професор по история в градския университет в Ню Йорк (CUNY), защото художниците от Ренесанса са обсебени от точно изобразяване на реалността в изкуството, Галилей стана подобно обсебен от точното изобразяване на реалността използвайки математика, През 1638 г. Галилей публикува първото доказателство, че равномерното ускорение от земната гравитация ще доведе до движение на снарядите по параболични траектории. Че математиката може да се използва за описване на движението е от ключово значение за напредъка на Научната революция.

Графики на квадратиката

Приблизително по същото време като Галилео, френският философ и математик Рене Декарт (1596-1650) публикува „La Géométrie“ (1637), в която е описана техниката на изобразяване на алгебрични уравнения в поле, наречено аналитична геометрия. И до днес се използва разновидност на методите му. Както е показано по-долу, графиката на квадратно уравнение е парабола.

Графиката на квадратично уравнение образува парабола. Техниката на графиране, каквато се практикува днес, се основава на работата на Рене Декарт.

Графиката на квадратично уравнение образува парабола. Техниката на графиране, каквато се практикува днес, се основава на работата на Рене Декарт.

Кредит: Робърт Coolman

Древна квадратика: златното съотношение

За да разберем метода на квадратно решаване, който математиците, учените и инженерите използват днес, нека проучим древен математически проблем: златното съотношение. Като страна, в „Погрешни схващания за златното съотношение“ (1992) Джордж Марковски, професор по математика в Университета в Мейн, посочи, че историческото значение и естетическата привлекателност на златното съотношение често са надценени, макар да е вярно, че съотношението се появява често в теория на числата (успоредно с последователността & Фибоначи), геометрията (като в икозаедър) и биологията (като ъгъла между листата на растението).

Един метод за определяне на златното съотношение е посочен така:

Намерете правоъгълник с дължина и ширина, така че когато квадратът е отрязан от единия край на правоъгълника, останалият правоъгълник на скрап ще има същата форма или "съотношение на страните" като оригиналния правоъгълник (но завъртян под прав ъгъл).

Докато древните гърци решавали този проблем с помощта на геометрия, ние ще използваме алгебра, както се учи днес.

Използване на алгебра за определяне на стойността на златното съотношение.

Използване на алгебра за определяне на стойността на златното съотношение.

Кредит: Робърт Coolman

За да определим каква дължина и ширина ще създаде златното съотношение, даваме на късата страна дължина 1, а дългата страна - дължина x. Тъй като съотношението на аспектите се дефинира като дългата страна, разделена на късата страна, съотношението на аспектите за този правоъгълник е x / 1, или просто x. Ако отрежем квадрат от този правоъгълник, останалият скрап има дължина на дългата страна 1 и дължина на късата страна x - 1. По този начин съотношението на страните е 1 / (x - 1). Разбирайки, че съотношението на аспектите за цялостния правоъгълник и по-малкия правоъгълник на скрап трябва да е едно и също, нашето уравнение е x = 1 / (x - 1).

Квадратната формула

Ето как учениците са инструктирани да решат това уравнение днес. Започнете с уравнението:

x = 1 / (x - 1)

Умножете всяка страна на уравнението с израза х - 1:

x · (x - 1) = 1

Разпределете x по израза x - 1:

x · x - x · 1 = 1

Променливата x, умножена по себе си, се записва като x². Това подреждане е това, което прави уравнението квадратично:

x² - x = 1

Сега изваждаме 1 от всяка страна на уравнението, за да постигнем това, което е известно като стандартната форма на квадратично уравнение:

x² - x - 1 = 0

Еквивалентно това може да бъде написано като:

(1) · x² + (-1) · x + (-1) = 0

Когато това се сравни с уравнението a · x² + b · x + c = 0, той дава стойности на a = 1, b = -1 и c = -1. Тези стойности се използват в квадратичната формула като

Съвременната символична форма на квадратното уравнение.

Съвременната символична форма на квадратното уравнение.

Кредит: Робърт Coolman

Символът "±" означава "плюс или минус." Поради това квадратичната формула винаги дава две решения. Заменете някоя от тези стойности в уравнението x = 1 / (x - 1), за да проверите дали това прави и двете страни на уравнението еднакви. Това е така, което означава, че методът работи. Забележете тези стойности и на местата, на които графиката на стандартната форма на уравнението (y = x² - x - 1) пресича оста X, където е = 0 (вижте графиката по-горе). В този случай положителната стойност е с по-голямо физическо значение, тъй като правоъгълникът не трябва да има отрицателна ширина.

Древен вавилонски произход

За да предложим малко представа откъде идва квадратичната формула и защо тя работи, нека да разгледаме процедура, използвана върху древна вавилонска глинена таблетка от около 1800 г. пр. Н.е. (Таблет BM 13901, Британски музей). Според Жак Сесиано във "Въведение в историята на Алгебра" (AMS, 2009), първият проблем на този таблет се превежда приблизително на:

Добавих площта и страната на квадрат, за да получите ¾. Каква е страната на квадрата?

Проблемът е написан в съвременната нотация като:

x² + x = ¾

Следва преразказване на вавилонските и арабските методи, описани от Сесиано. Първо ще преведем стъпките, които са използвали вавилонците, но също така ще ги преведем на символичен език, който използваме днес в алгебрата. Напълно символичният език се появява за първи път в Европа през 17 век. Тъй като вавилонците не знаеха за отрицателните числа, е необходимо да се напише уравнението под формата х2 + px = q, където p = 1 и q = ¾. Когато сравняваме това със съвременната стандартна форма брадва2& + bx + c = 0, това показва, че p = b / a и q = -c / a.

Древна вавилонска процедура за решаване на определен вид квадратика. Преводът в съвременна символична нотация се появява вдясно.

Древна вавилонска процедура за решаване на определен вид квадратика. Преводът в съвременна символична нотация се появява вдясно.

Кредит: Робърт Coolman

Сега нека извлечем и докажем, че процедурата е правилна, използвайки геометрични методи, както арабските математици направиха през девет век след н. Е. Следващото е разновидност на доказателството, което се появи в публикацията на персийския математик Ал-Хваризми на „Комплексната книга за изчисляване чрез завършване и балансиране“ "през ​​820 г. сл. Хр. Макар че вавилонците почти сигурно са извлекли процедурните си методи от геометрията, нито писмените записи на производни, нито доказателства за коректност се появяват до златния век на исляма, период от средата на VII в. до средата на 13 век, когато Мюсюлманите управлявали империя, която се простирала от Централна Азия до Северна Африка и Иберия.

Геометрична демонстрация защо действа древната вавилонска процедура. Вариант на това доказателство е записан за първи път през девети век А. Д. Арабия и напълно символичен език за първи път се появява в Европа от 17-ти век от А. Д.

Геометрична демонстрация защо действа древната вавилонска процедура. Вариант на това доказателство е записан за първи път през девети век А. Д. Арабия и напълно символичен език за първи път се появява в Европа от 17-ти век от А. Д.

Кредит: Робърт Coolman

Ако „включим“ p = b / a и q = -c / a, формулата наистина опростява съвременната форма на квадратното уравнение, както се преподава днес.

Различни форми на квадратичната формула са били използвани в Афро-Евразия през вековете. Процедурните версии са били използвани от вавилонците и египтяните около 19 в. Пр. Н. Е., Халдейците през седми век пр.н.е., гърците през четвърти век пр.н.е. и индийците през V в. сл. н. е. Реторичните и синкопираните форми са разработени от арабите през девети век след Христа, а синкопираните и символични форми от европейците през 11 в. сл. н. е. Методите, използвани от всяка цивилизация, са прогресирали, докато повече е научено за негативното ирационални, въображаеми и сложни числа.

Допълнителни ресурси

  • Университетът Дрексел има забавна уеб страница, която илюстрира историята на графиките.
  • Purplemath.com, сайт за уроци по математика, обяснява коники и параболи.
  • MathWorld, онлайн математически ресурс, обсъжда квадратични уравнения.


Видео Добавка: Математика 8 клас. Непълно квадратно уравнение.




Изследване


Гледайте Носенето На Джетпак Daredevils Zoom Past A Jumbo Jet (Видео)
Гледайте Носенето На Джетпак Daredevils Zoom Past A Jumbo Jet (Видео)

Нов Комплект Завъртания На Завъртане: 1 Милион Оборота В Минута
Нов Комплект Завъртания На Завъртане: 1 Милион Оборота В Минута

Наука Новини


Джеймстаун: Факти И История
Джеймстаун: Факти И История

Музиката Може Да Успокои Тревожността На Пациентите С Рак
Музиката Може Да Успокои Тревожността На Пациентите С Рак

Поле, Покрито С Мъртви, Безглави Елени И Пука, Ни Учи За Кръга На Живота
Поле, Покрито С Мъртви, Безглави Елени И Пука, Ни Учи За Кръга На Живота

Летни Булки: 5 Сватбени Традиции От Цял ​​Свят
Летни Булки: 5 Сватбени Традиции От Цял ​​Свят

Как Млечният Път Получи Името Си?
Как Млечният Път Получи Името Си?


BG.WordsSideKick.com
Всички Права Запазени!
Възпроизвеждането На Използваните Материали Оставя Само Prostanovkoy Активна Връзка Към Сайта BG.WordsSideKick.com

© 2005–2019 BG.WordsSideKick.com