Tessellation: Геометрията На Плочките, Сотовете И M.C. Ешер

{h1}

Tessellation е повтарящ се модел със същите форми, без пропуски или припокривания. Тези модели се срещат в природата, използват се от художници и архитекти и се изучават за техните математически свойства.

Пчелни пити, някои подове за баня и дизайни на художника M.C. Escher имат нещо общо: те са съставени от повтарящи се модели с една и съща форма, без никакви припокривания или пропуски. Този тип шарки се наричат ​​облицовка или теселация.

Думата "tessellate" означава да оформяте или подреждате малки квадратчета в шаблон или мозайка, според университета в Drexel. Произхожда от гръцкото tesseres, което означава "четири". Първите облицовки бяха направени от квадратни плочки. Като форма на изкуството теселацията е особено богата на математика, с връзки към геометрията, топологията и теорията на групите. Културите, вариращи от ирландски и арабски до индийски и китайски, са практикували облицовки на различни нива на сложност. Нека проучим голямото разнообразие от теселации, които откриваме в природата, функционалния дизайн и изкуството.

Редовни тесселации

В математически план, "редовен" описва всяка форма, която има всички равни страни и равни ъгли. Има три правилни форми, които съставят правилни тесселации: равностранен триъгълник, квадрат и правилен шестоъгълник. Например, обикновен шестоъгълник се използва в модела на пчелна пита, гнездовата структура на пчелната пчела.

Равностранни триъгълници, квадратчета и правилни шестоъгълници съставят редовни тескелации.

Равностранни триъгълници, квадратчета и правилни шестоъгълници съставят редовни тескелации.

Кредит: Робърт Coolman

Полурегулярни тесселации

Полуредовните тесселации са направени от повече от един вид редовен многоъгълник. В границите на същите форми, заобикалящи всяка върха (точките, където ъглите се срещат), има осем такива теселации. Всяка полуредовна тесселация е наречена за броя на страните на формите, заобикалящи всяка върха. Например, за първата облицовка по-долу всяка върха е съставена от точката на триъгълник (3 страни), шестоъгълник (6), друг триъгълник (3) и друг шестоъгълник (6), така че се нарича 3.6.3.6. Понякога тези теселации се описват като "Архимедова" в чест на третия век от н.е. Гръцки математик.

Полуредовните тесселации са направени от комбинации от различни форми.

Полуредовните тесселации са направени от комбинации от различни форми.

Кредит: Робърт Coolman

Моноедрични теселации

„Mono“ означава „един“, а „-edium“ означава „форма“; така че моноедричните теселации са съставени само от една форма, макар че формата може да се завърти или да се обърне. На езика на математиката формите в такъв модел са описани като конгруентни. Всеки триъгълник (тристранна форма) и всеки четириъгълник (четиристранна форма) е способен на тесселиране поне по един начин, макар че избрани малцина могат да теселират по повече от един начин. Няколко примера са показани по-долу:

Моноедричните теселации са направени от една форма, която се завърта или обръща, за да образува различни шарки.

Моноедричните теселации са направени от една форма, която се завърта или обръща, за да образува различни шарки.

Кредит: Робърт Coolman

Според математика Ерик У. Вайщайн от MathWorld на Wolfram Research, за петоъгълниците понастоящем има 14 известни класа форми, които ще бъдат тесселирани, и само три за шестоъгълници. Дали има повече класове остава нерешен проблем на математиката. Що се отнася до форми със седем или повече страни, няма такива многоъгълници теселат, освен ако те имат ъгъл, по-голям от 180 градуса. Такъв многоъгълник е описан като вдлъбнат, защото има вдлъбнатина.

Няколко примера на петоъгълни тесселации са показани по-долу. Всички 14 класа петоъгълна теселация могат да бъдат генерирани по демонстрационния проект Wolfram.

Няколко примера на петоъгълни тесселации. Има само 14 известни модела, които могат да бъдат направени.

Няколко примера на петоъгълни тесселации. Има само 14 известни модела, които могат да бъдат направени.

Кредит: Робърт Coolman

Duals

Има по-дълбока връзка, преминаваща през много от тези геометрични tessellations. Доста от тях са "двойници" един на друг. Според Бранко Грюнбаум, автор на „Облицовки и шарки“ (Freeman, 1987), за да създадете двойник на тесела, нарисувайте точка в центъра на всяка форма, свържете всяка точка към всяка от точките на съседната форма и изтрийте оригиналния шаблон, По-долу са дадени някои примери за tessellations и техните дуали:

Двойник на редовна тесселация се образува, като се приема центърът на всяка форма като връх и се съединяват центровете на съседни форми.

Двойник на редовна тесселация се образува, като се приема центърът на всяка форма като връх и се съединяват центровете на съседни форми.

Кредит: Робърт Coolman

М.С. Ешер и модифицирани моноедрични теселации

Уникалната форма на изкуството е активирана чрез промяна на моноедричните теселации. Най-известният практикуващ от това е 20тата-центрист художник М.С. Ешер. Според Джеймс Кейс, рецензент на книги за Обществото за индустриална и приложна математика (SIAM), през 1937 г. Ешер споделя с брат си скици от своето очарование с 11тата- и 12тата-вековно ислямско произведение на изкуствата на Иберийския полуостров. Брат му го насочва към научна книга от Джордж Поля от 1924 г., която илюстрира 17-те начина, по които даден модел може да бъде категоризиран по различните му симетрии. Това допълнително вдъхнови Ешер, който започна да изследва дълбоко сложни взаимосвързващи се теселази на животни, хора и растения.

Според Ешер, „Кристалографите са установили кой и колко начини има правилно разделяне на самолет. По този начин те са отворили портата, водеща към обширен домейн, но самите те не са влизали в този домейн. тяхната същност, те се интересуват повече от начина, по който се отваря портата, отколкото от градината, която се крие зад нея. "

Следващата тесселация на "гекон", вдъхновена от подобни дизайни на Escher, се основава на шестоъгълна мрежа. Забележете как всеки гекон докосва шест други.

Тесселация на гекони, вдъхновена от дизайните на M.C. Ешер.

Тесселация на гекони, вдъхновена от дизайните на M.C. Ешер.

Кредит: Робърт Coolman

Апериодични тесселации

Не всички теселации се повтарят. Такъв модел (ако може да се нарече такъв) се описва като "апериодичен". По-долу са представени три версии на Penrose Tiling, наречен на английския математически физик Роджър Пенроуз, който за първи път публикува такива модели през 1974 г. в Оксфордския университет. Тези модели показват петкратна симетрия, свойство, което не се намира в нито един периодичен (повтарящ се) модел.

Тези теселации нямат повтарящи се модели. Те се наричат ​​апериодични.

Тези теселации нямат повтарящи се модели. Те се наричат ​​апериодични.

Кредит: Робърт Coolman

Средновековната ислямска архитектура е особено богата на апериодична тесселация. Моделите са били използвани в произведения на изкуството и архитектурата поне 500 години преди да бъдат открити на Запад. Ранен пример е Gunbad-i Qabud, кула на гробниците от 1197 г. в Марага, Иран. Според ArchNet, онлайн архитектурна библиотека, външните повърхности „са покрити изцяло с тухлен модел от преплитащи се петоъгълници“.

Геометриите в рамките на петкратни симетрични апериодични теселации станаха важни за областта на кристалографията, която от 80-те години на миналия век дава началото на изучаването на квазикристалите. Според Питър Дж. Лу, физик от Харвард, металните квазикристали имат „необичайно високи топлинни и електрически съпротивления, дължащи се на апериодичността“ на атомните им разположения.

Друг набор от интересни апериодични тесселации са спиралите. Първият подобен модел е открит от Хайнц Водерберг през 1936 г. и е използвал вдлъбнат 11-страничен многоъгълник (показан вляво). Друга спирална облицовка е публикувана през 1985 г. от Майкъл Д. Хиршхорн и Д. С. Хънт, използвайки неравномерен петоъгълник (показан вдясно).

Примери за спирални тесселации.

Примери за спирални тесселации.

Кредит: Робърт Coolman

Допълнителни ресурси

  • Вижте M.C. Тесселациите на Ешер в M.C. Галерия Ешер.
  • Гледайте това видео в YouTube, за да научите повече за облицовките на Penrose.
  • Научете повече за идеите на Питър Дж. Лу за геометрията на средновековната ислямска архитектура.


Видео Добавка: .




Изследване


Отвъд Отрепки: 60 Милиона Американци С Етикет
Отвъд Отрепки: 60 Милиона Американци С Етикет "Интелектуално Любопитни"

2 Пилоти В Различни Равнини Виждат Едно И Също Нло. Faa Не Може Да Го Обясни.
2 Пилоти В Различни Равнини Виждат Едно И Също Нло. Faa Не Може Да Го Обясни.

Наука Новини


Как Паразитите От Малария Паразити Да Се Промъкнат В Тялото
Как Паразитите От Малария Паразити Да Се Промъкнат В Тялото

Секси Сигнал? Перката И Рогата Може Да Са Помогнали На Динозавъра Да Общува
Секси Сигнал? Перката И Рогата Може Да Са Помогнали На Динозавъра Да Общува

Мистериозна Египетска Спирала, Видяна В Google Maps
Мистериозна Египетска Спирала, Видяна В Google Maps

Тревни Войни: Ирландската Забрана За Борба С Добив На Торф
Тревни Войни: Ирландската Забрана За Борба С Добив На Торф

Суеверията Носят Истински Късмет, Проучване Разкрива
Суеверията Носят Истински Късмет, Проучване Разкрива


BG.WordsSideKick.com
Всички Права Запазени!
Възпроизвеждането На Използваните Материали Оставя Само Prostanovkoy Активна Връзка Към Сайта BG.WordsSideKick.com

© 2005–2020 BG.WordsSideKick.com